Question

20．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x+2a-1}{{{x^2}+1}}$為奇函數(shù)，及l(fā)g2=0.3010，lg2.015=0.3043．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是減函數(shù)；
（3）求最小的正整數(shù)n，使得f（1+0.01×2ⁿ）+f（-2016）＜f（0）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，利用f（0）=0，即可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是減函數(shù)；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）由f（0）=0，求得$a=\frac{1}{2}$…（3分）
（2）由（1）可知$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+1}}$，設(shè)x₁，x₂∈[1，+∞），設(shè)x₁＜x₂，則…（4分）$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{x_1}{x_1^2+1}-\frac{x_2}{x_2^2+1}=\frac{{{x_1}（x_2^2+1）-{x_2}（x_1^2+1）}}{（x_1^2+1）（x_2^2+1）}=\frac{{（{x_2}-{x_1}）（{x_1}{x_2}-1）}}{（x_1^2+1）（x_2^2+1）}$，
∵1≤x₁＜x₂，∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是減函數(shù)； …（7分）
（3）∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（0）=0，f（-2016）=-f（2016），…（8分）
所以原式可化為f（1+0.01×2ⁿ）＜f（2016），
由（2）可知函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，且1+0.01×2ⁿ＞1，
∴1+0.01×2ⁿ＞2016，即2ⁿ＞201500，…（10分）
兩邊取對數(shù)，得nlg2＞lg2.015+5，即0.3010n＞5.3043，
解得n＞17.62，故最小的正整數(shù)n的值為18．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及函數(shù)單調(diào)性的證明，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．