Question

1．如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是直角梯形，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且與底面ABCD垂直，E為PA的中點(diǎn)．
（1）求證：DE∥平面PBC；
（2）求二面角EBDA的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明DE∥平面PBC；
（2）建立空間坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角EBDA的余弦值．

解答 （1）證明：如圖1，取AB的中點(diǎn)F，連接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，
所以BF∥CD且BF=/CD，
所以四邊形BCDF為平行四邊形，
所以DF∥BC．
在△PAB中，PE=EA，AF=FB，
所以EF∥PB．
因?yàn)镈F∩EF=F，PB∩BC=B，
所以平面DEF∥平面PBC．
因?yàn)镈E?平面DEF，
所以DE∥平面PBC．
（2）取AD的中點(diǎn)O，BC的中點(diǎn)N，連接ON，OP，
則ON∥AB．
在△PAD中，PA=PD=AD=2，
所以PO⊥AD，PO=$\sqrt{3}$．
因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以PO⊥平面ABCD．
如圖2，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A，ON，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則O（0，0，0），A（1，0，0），D（-1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（1，4，0），
所以$\overrightarrow{DB}$=（2，4，0）．因?yàn)镋為PA的中點(diǎn)，所以E（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
故$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
易知$\overrightarrow{PO}$=（0，0，-$\sqrt{3}$）為平面ABD的一個(gè)法向量．設(shè)平面EBD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{2x+4y=0}\\{\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，
令y=-1，則x=2，z=-2$\sqrt{3}$，
所以$\overrightarrow{n}$=（2，-1，-2$\sqrt{3}$）為平面EBD的一個(gè)法向量．
所以cos＜$\overrightarrow{PO}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PO}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{51}}{17}$．
設(shè)二面角EBDA的大小為θ，知θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
所以cos θ=$\frac{2\sqrt{51}}{17}$，即二面角EBDA的余弦值為$\frac{2\sqrt{51}}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和平面的判定，以及二面角的求解，根據(jù)線面平行的判定定理，以及建立坐標(biāo)系，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．