Question

1．橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$上有兩點P，Q，O為原點，連OP，OQ，P，Q中點為M，OP，OQ的斜率之積為-$\frac{1}{4}$，求點M的軌跡E的方程．

Answer 1

分析 利用參數設出點P，Q的坐標，根據OP，OQ的斜率之積為-$\frac{1}{4}$，可得cos（α-β）=0，確定PQ的中點M的坐標，消去參數，即可求得PQ的中點M的軌跡方程．

解答 解：設P（4cosα，2sinα），Q（4cosβ，2sinβ）．
∵OP，OQ的斜率之積為-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{2sinα}{4cosα}×\frac{2sinβ}{4cosβ}=-\frac{1}{4}$
∴cos（α-β）=0，
設M（x，y），則x=2cosα+2cosβ，即$\frac{x}{2}$=cosα+cosβ①，y=sinα+sinβ②
∴①²+②²可得：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

點評 本題考查橢圓的方程，考查軌跡方程，考查參數的運用，正確設出點的坐標是關鍵．