Question

19．等差數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，公差d≠0，且a₃•a₄=a₁₂．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=a_n•2ⁿ，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知a₃•a₄=a₁₂，求得d=1，即可寫出通項公式；
（2）b_n=a_n•2ⁿ=n•2ⁿ，數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，采用乘以公比錯位相減法，求得T_n．

解答 解：a₃•a₄=a₁₂．
（a₁+2d）（a₁+3d）=（a₁+11d），
解得：d=1，
a_n=n，
數(shù)列{a_n}的通項公式，a_n=n；
b_n=a_n•2ⁿ=n•2ⁿ，
數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
T_n=n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2=（n-1）2ⁿ⁺¹+2
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

點評 本題考查求數(shù)列的通項公式和乘以公比錯位相減法，是高考的重點，要求學生熟練運用錯位相減法，屬于中檔題．