Question

10．設(shè)點(diǎn)M（x₀，1），已知圓心C（2，0），半徑為1的圓上存在點(diǎn)N，使得∠CMN=45°，則x₀的最大值為3．

Answer 1

分析 作出對(duì)應(yīng)的同學(xué)根據(jù)條件∠CMN=45°，則必有∠CMN≤∠CMT，所以只需∠CMT≥45°即可，借助于三角函數(shù)容易求出x₀的范圍．

解答 解：易知M（x₀，1）在直線y=1上，
設(shè)圓C的方程為（x-2）²+y²=1與直線y=1的交點(diǎn)為T(mén)，
假設(shè)存在點(diǎn)N，使得∠CMN=45°，則必有∠CMN≤∠CMT，
所以要是圓上存在點(diǎn)N，使得∠CMN=45°，只需∠CMT≥45°
因?yàn)門(mén)（2，1），
所以只需在Rt△CMT中，tan∠CMT=$\frac{CT}{MT}$=$\frac{1}{|{x}_{0}-2|}$≥tan45°=1，
即|x₀-2|≤1，
則-1≤x₀-2≤1，
即1≤x₀≤3
故x₀∈[1，3]．
則x₀的最大值為3，
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 此題重點(diǎn)考查了利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題，關(guān)鍵是弄清楚M點(diǎn)所在的位置，能夠找到∠CMN與∠CMT的大小關(guān)系，從而構(gòu)造出關(guān)于x₀的不等式．