Question

16．一橢圓上任一點(diǎn)P與橢圓上兩定點(diǎn)A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀）的連線的斜率之積是-$\frac{3}{4}$，則橢圓的離心率$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)設(shè)P（x，y），橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，運(yùn)用直線的斜率公式和點(diǎn)差法，求得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：設(shè)P（x，y），橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
由則k_AP•k_BP=$\frac{y-{y}_{0}}{x-{x}_{0}}$•$\frac{y+{y}_{0}}{x+{x}_{0}}$=$\frac{{y}^{2}-{y}_{0}^{2}}{{x}^{2}-{x}_{0}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
由P，A，B在橢圓上$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}=1$，
兩式相減得：$\frac{{x}^{2}-{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}-{y}_{0}^{2}}{^{2}}=0$，
$\frac{{y}^{2}-{y}_{0}^{2}}{{x}^{2}-{x}_{0}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{3}{4}}$=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查的離心率的求法和方程的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．