Question

3．己知函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+b在x=1處取得極值3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在x∈[0，2]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)，由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=3}\\{f′（1）=0}\end{array}\right.$，解得即可求出a，b的值，問題得以解決；
（Ⅱ）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再求出極值和端點值，比較即可得到最值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²+x+b，
∴f′（x）=3x²+2ax+1，
由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=3}\\{f′（1）=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{1+a+1+b=3}\\{3+2a+1=0}\end{array}\right.$，
解得a=-2，b=3，
∴f（x）=x³-2x²+x+3；
（Ⅱ）由f′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1），
令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{3}$，或x=1，
當(dāng)f′（x）＞0時，解得0≤x＜$\frac{1}{3}$，或1＜x≤2，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時，解得$\frac{1}{3}$＜x＜1，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=$\frac{1}{3}$取得極大值，極大值f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{85}{27}$，
當(dāng)x=1取得極小值，極大值f（1）=3，
又f（0）=3，f（2）=5，
故函數(shù)f（x）在x∈[0，2]的最大值為5，最小值為3．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值極值的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握求極值的方法，屬于中檔題．