Question

11．已知{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，a₁=1，且a₂，a₅，a₁₄成等比數(shù)列．求：
（1）數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和S_n；
（2）數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{{a}_{n}}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算即可得到{a_n}的通項(xiàng)，再由裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算即可得到前n項(xiàng)和S_n；
（2）求得數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{{a}_{n}}}$}的通項(xiàng)，再由錯(cuò)位相減法，計(jì)算即可得到前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）{a_n}是公差d不為零的等差數(shù)列，
a₂，a₅，a₁₄成等比數(shù)列，則a₂a₁₄=a₅²，
即有（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²，
化簡可得d=2a₁=2，
a_n=1+2（n-1）=2n-1，
$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-$$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$；
（2）數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{{a}_{n}}}$}的通項(xiàng)為$\frac{2n-1}{{2}^{2n-1}}$，
前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{5}{{2}^{5}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{2n-3}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{2n-1}}$，
$\frac{1}{4}$T_n=$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{5}}$+$\frac{5}{{2}^{7}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{2n-1}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{2n+1}}$，
兩式相減可得，$\frac{3}{4}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{2}{{2}^{5}}$+$\frac{2}{{2}^{7}}$+…+$\frac{2}{{2}^{2n-1}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{2n+1}}$
=$\frac{1}{2}+$2•$\frac{\frac{1}{8}（1-\frac{1}{{4}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{4}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{2n+1}}$，
化簡可得T_n=$\frac{10}{9}$-$\frac{10+12n}{9•{4}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用和等比數(shù)列的性質(zhì)，同時(shí)考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和和錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題和易錯(cuò)題．