Question

8．已知函數(shù)f（x）=（e^x-1）ln（x+a）（a＞0）在x=0處取得極值．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)x≥0時，求證f（x）≥x²．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由f′（0）=0，從而求出a的值；
（Ⅱ）先求出f（x）的表達(dá)式，令g（x）=f（x）-x²，通過討論x的范圍，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，從而證出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵$f'（x）={e^x}ln（{x+a}）+\frac{{{e^x}-1}}{x+a}$，函數(shù)f（x）在x=0處取得極值，
∴f′（0）=0，得lna=0，即a=1；                                  
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=（e^x-1）ln（x+1），
令g（x）=（e^x-1）ln（x+1）-x²（x≥0），
則$g'（x）={e^x}ln（{x+1}）+\frac{{{e^x}-1}}{x+1}-2x$，
令h（x）=（x+1）g′（x）
=e^x（x+1）ln（x+1）+e^x-1-2x（x+1），
∴h′（x）=e^x（x+1）ln（x+1）+e^x[ln（x+1）+1]+e^x-（4x+2）
令φ（x）=e^x-x-1，則φ′（x）=e^x-1，
（�。┊�(dāng)x≤0時，e^x-1≤0
（ⅱ）當(dāng)x≥0時，e^x-1≥0，
∴函數(shù)φ（x）在區(qū)間（-∞，0]為減函數(shù)，在區(qū)間[0，+∞）為增函數(shù)．
∴φ（x）_min=φ（0）=0，∴對x∈R，φ（x）≥0，即e^x≥x+1…①，
由①知e^t-1≥t…②，當(dāng)t＞0時，由②得lnt≤t-1…③，
當(dāng)x≥0時，以$\frac{1}{x+1}$代換③式中t，得$ln（{x+1}）≥\frac{x}{x+1}$…④，
當(dāng)x≥0時，e^x≥1由①，④得e^x（x+1）ln（x+1）≥x，e^xln（x+1）≥x，
∴h′（x）≥x+x+2（x+1）-（4x+2）=0，
∴函數(shù)y=h（x）（x≥0）為增函數(shù)，
∴當(dāng)x≥0，h（x）≥h（0）=0，即當(dāng)x≥0時，（x+1）g′（x）≥0，且x+1≥1＞0，
∴g′（x）≥0，∴函數(shù)y=g（x）（x≥0）為增函數(shù)，
∴當(dāng)x≥0時，g（x）≥g（0）=0
∴當(dāng)x≥0時，g（x）≥0，
∴當(dāng)x≥0時，f（x）≥x²．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查不等式的證明問題，是一道中檔題．