Question

已知定直線l：x＝－1，定點(diǎn)F(1,0)，⊙P經(jīng)過F且與l相切.

(1)求P點(diǎn)的軌跡C的方程.

(2)是否存在定點(diǎn)M，使經(jīng)過該點(diǎn)的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，并且以AB為直徑的圓都經(jīng)過原點(diǎn)；若有，請求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒有，請說明理由.

Answer 1

 (1)由題設(shè)知點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離與點(diǎn)P到直線l的距離相等，

∴點(diǎn)P的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，

∴點(diǎn)P的軌跡C的方程為：y²＝4x.

(2)設(shè)AB的方程為x＝my＋n，代入拋物線方程整理得：y²－4my－4n＝0，

設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則

∵以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，∴OA⊥OB，

∴y₁y₂＋x₁x₂＝0.即y₁y₂＋·＝0.

∴y₁y₂＝－16，∴－4n＝－16，n＝4.

∴直線AB：x＝my＋4恒過M(4,0)點(diǎn)．