精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
8.設x,y,z∈R+且$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$+z=1,求xy+2xz的最大值.

分析 令x=rcosθ,y=rsinθ,r∈(0,1),θ∈(0,$\frac{π}{2}$),可得z=1-r.通過三角函數代換、利用二次函數和三角函數單調性即可得出.

解答 解:令x=rcosθ,y=rsinθ,r∈(0,1),θ∈(0,$\frac{π}{2}$),
∵實數x,y,z滿足$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$+z=1,
∴r+z=1,可得z=1-r.
∴t=xy+2xz=r2sinθcosθ+2r(1-r)cosθ
=(sinθcosθ-2cosθ)r2+2rcosθ=cosθ[(sinθ-2)r2+2r]=cosθ[sin(θ-2)(r+$\frac{1}{sinθ-2}$)2+$\frac{1}{2-sinθ}$]≤$\frac{cosθ}{2-sinθ}$,
當r=$\frac{1}{2-sinθ}$時等號成立.
又令m=$\frac{cosθ}{2-sinθ}$,則msinθ+cosθ=2m,
∴$\sqrt{{m}^{2}+1}$≥|2m|,
∴m2≤$\frac{1}{3}$.
當θ=$\frac{π}{6}$時,m取得最大值$\frac{\sqrt{3}}{3}$,此時x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,y=$\frac{1}{3}$,z=$\frac{1}{3}$,
故xy+2xz的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

點評 本題考查了通過三角函數代換、利用二次函數和三角函數單調性解決問題的方法,考查了推理能力和計算能力,屬于難題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

18.已知非零數列{an}滿足a1=$\frac{1}{2}$,an+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+3}$(n∈N*),且{$\frac{1}{{a}_{n}}$+1}成等比數列,若令bn=$\frac{1}{\frac{1}{{a}_{n}}+1+(-2)^{n}}$,設{bn}的前n項和為Sn
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)證明:對任意m∈N*,有b2m+b2m+1<$\frac{4}{{3}^{2m+1}}$;
(3)判斷Sn與$\frac{7}{6}$的大小關系,并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

19.在斜三角形ABC中,tanA+tanB+tanAtanB=1.
(1)求C的值;
(2)若A=15°,$AB=\sqrt{2}$,求△ABC的周長.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

16.已知$\overrightarrow{a}$=(-3,-2),$\overrightarrow$(4,4),求|2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$|,cos$<\overrightarrow{a},\overrightarrow>$.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

3.同時拋擲2枚均勻硬幣100次,記兩枚硬幣都出現正面的次數為η,求Eη.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:填空題

13.當x∈[-1,+∞)時,不等式x3-ax2-4x+8≥0恒成立,則a的取值范圍是(-∞,2].

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:選擇題

20.命題“存在x0∈R,x${\;}_{0}^{2}$-1=0”的否定是( 。
A.不存在x0∈R,x${\;}_{0}^{2}$-1=0B.存在x0∈R,x${\;}_{0}^{2}$-1≠0
C.存在x0∈R,x${\;}_{0}^{2}$-1=0D.對任意的x0∈R,x${\;}_{0}^{2}$-1≠0

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:填空題

17.已知cos($\frac{π}{4}$+α)=$\frac{1}{3}$,α∈(0,$\frac{π}{2}$),則cos($\frac{π}{12}$-α)=$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:填空題

18.從5個男生和3個女生中選4人分別擔當4個學科的課代表,要求至少有2個女生,則不同的選法種數為35種.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案