Question

18．已知非零數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+3}$（n∈N^*），且{$\frac{1}{{a}_{n}}$+1}成等比數(shù)列，若令b_n=$\frac{1}{\frac{1}{{a}_{n}}+1+（-2）^{n}}$，設(shè){b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對(duì)任意m∈N^*，有b_2m+b_2m+1＜$\frac{4}{{3}^{2m+1}}$；
（3）判斷S_n與$\frac{7}{6}$的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+3}$可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=3（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1），從而可得$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=3ⁿ，從而求a_n；
（2化簡(jiǎn)b_n=$\frac{1}{\frac{1}{{a}_{n}}+1+（-2）^{n}}$=$\frac{1}{{3}^{n}+（-2）^{n}}$，從而作差化簡(jiǎn)證明即可；
（3）由b_n=$\frac{1}{{3}^{n}+（-2）^{n}}$＞0且b₁=1知S_n隨著n增大而增大，且對(duì)任意的n，都存在m，使n＜2m+1，從而化簡(jiǎn)S_2m+1判斷即可．

解答 解：（1）∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=3（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1），
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$+1=3，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$+1}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
故$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=3ⁿ，
故a_n=$\frac{1}{{3}^{n}-1}$；
（2）證明：b_n=$\frac{1}{\frac{1}{{a}_{n}}+1+（-2）^{n}}$=$\frac{1}{{3}^{n}+（-2）^{n}}$，
b_2m+b_2m+1-$\frac{4}{{3}^{2m+1}}$=$\frac{1}{{3}^{2m}+{2}^{2m}}$+$\frac{1}{{3}^{2m+1}-{2}^{2m+1}}$-$\frac{4}{{3}^{2m+1}}$
=$\frac{1}{{3}^{2m+1}}$（$\frac{1}{\frac{1}{3}（1+\frac{{2}^{2m}}{{3}^{2m}}）}$+$\frac{1}{1-\frac{2}{3}•\frac{{2}^{2m}}{{3}^{2m}}}$-4），
=$\frac{1}{{3}^{2m+1}}$（$\frac{3}{1+\frac{{2}^{2m}}{{3}^{2m}}}$+$\frac{1}{1-\frac{2}{3}•\frac{{2}^{2m}}{{3}^{2m}}}$-4），
=$\frac{1}{{3}^{2m+1}}$（$\frac{4-\frac{{2}^{2m}}{{3}^{2m}}}{1+\frac{1}{3}•\frac{{2}^{2m}}{{3}^{2m}}（1-2\frac{{2}^{2m}}{{3}^{2m}}）}$-4），
∵$\frac{4-\frac{{2}^{2m}}{{3}^{2m}}}{1+\frac{1}{3}•\frac{{2}^{2m}}{{3}^{2m}}（1-2\frac{{2}^{2m}}{{3}^{2m}}）}$＜4，
∴對(duì)任意m∈N^*，有b_2m+b_2m+1＜$\frac{4}{{3}^{2m+1}}$；
（3）∵b_n=$\frac{1}{{3}^{n}+（-2）^{n}}$＞0，b₁=1，
∴S_n隨著n增大而增大，且對(duì)任意的n，都存在m，使n＜2m+1，
S_n＜S_2m+1=b₁+b₂+b₃+…+b_2m+1
=1+（b₂+b₃）+…+（b_2m+b_2m+1）
＜1+$\frac{4}{{3}^{3}}$+…+$\frac{4}{{3}^{2m+1}}$
=1+$\frac{\frac{4}{27}（1-（\frac{1}{9}）^{m}）}{1-\frac{1}{9}}$
=1+$\frac{1}{6}$（1-$\frac{1}{{9}^{m}}$）＜$\frac{7}{6}$；
故S_n＜$\frac{7}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了構(gòu)造法的應(yīng)用及數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了放縮法的應(yīng)用．