Question

18．把一個(gè)圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的上、下底面半徑的比是1：2，母線長(zhǎng)10cm．圓臺(tái)側(cè)面展開是一個(gè)$\frac{1}{4}$圓環(huán)，求：
（1）圓錐的母線長(zhǎng)；
（2）求圓臺(tái)的表面積和體積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，圓臺(tái)上、下底半徑為r，R．利用三角形相似，求出圓錐的母線長(zhǎng)；
（2）結(jié)合圓臺(tái)的表面積和體積公式，可得答案．

解答 解：（1）設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，圓臺(tái)上、下底半徑為r，R．
∵$\frac{l-10}{l}$=$\frac{r}{R}$=$\frac{1}{4}$，
∴l(xiāng)=$\frac{40}{3}$（cm）
（2）由圓臺(tái)側(cè)面展開是一個(gè)$\frac{1}{4}$圓環(huán)，
故圓錐的底面半徑（圓臺(tái)的下底半徑）R=$\frac{1}{4}$×$\frac{40}{3}$=$\frac{10}{3}$（cm）
圓臺(tái)的上底半徑r=$\frac{5}{3}$（cm），
圓臺(tái)的表面積S=πr²+πR²+π（r+R）l=17πr²+50πr=$\frac{1175}{9}π$，
圓臺(tái)的高h(yuǎn)=$\sqrt{{l}^{2}-（R-r）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{35}}{3}$，
故圓臺(tái)的體積V=$\frac{1}{3}$π（r²+rR+R²）h=$\frac{875\sqrt{35}}{81}π$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體，熟練掌握?qǐng)A臺(tái)的幾何特征及圓臺(tái)的體積表面積公式，是解答的關(guān)鍵．