Question

6．已知函數(shù)f（x）=2x+3．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ⁺¹-3．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件推出數(shù)列遞推式，確定{a_n+3}是以4為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=2x+3．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），
可得a_n+1=2a_n+3（n∈N^*），
∴a_n+1+3=2（a_n+3），
∵a₁=1，∴a₁+3=4，
∴{a_n+3}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
∴a_n+3=4•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-3．
故答案為：2ⁿ⁺¹-3．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查構(gòu)造法證明等比數(shù)列，考查數(shù)列的通項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造法證明等比數(shù)列．