Question

如圖：二面角α-l-β的大小是60°，線段AB?α，AB與l所成角為45°，則AB與平面β所成角的正弦值是

6

4

．

Answer 1

分析：過點(diǎn)A作平面β的垂線，垂足為C，在β內(nèi)過C作CD⊥l于D，連結(jié)AD，由三垂線定理證出AD⊥l，可得∠ADC為二面角α-l-β的平面角．連線CB，由AC⊥β可得∠ABC為AB與平面β所成的角，再利用解直角三角形知識(shí)，結(jié)合題中數(shù)據(jù)加以計(jì)算即可得出求出AB與平面β所成角的正弦值．

解答：解：過點(diǎn)A作平面β的垂線，垂足為C，在β內(nèi)過C作l的垂線，垂足為D．
連結(jié)AD，根據(jù)三垂線定理可得AD⊥l，
因此，∠ADC為二面角α-l-β的平面角，∠ADC=60°
又∵AB與l所成角為45°，∴∠ABD=45°
連結(jié)BC，可得BC為AB在平面β內(nèi)的射影，
∴∠ABC為AB與平面β所成的角．
設(shè)AD=2x，則Rt△ACD中，AC=ADsin60°=

3

x，
Rt△ABD中，AB=

AD

sin45°

=2

2

x
∴Rt△ABC中，sin∠ABC=

AC

AB

=

3 x

2 2 x

=

6

4

故答案為：

6

4

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點(diǎn)評(píng)：本題給出60°的二面角的一個(gè)面內(nèi)一條直線與棱成45°角，求該直線與另一個(gè)面所成角的正弦值．著重考查了線面垂直的定義與性質(zhì)、二面角的平面角的定義和直線與平面所成角的定義及求法等知識(shí)，屬于中檔題．