Question

15．設(shè)y=f（x）在R上有定義．對于給定的正數(shù)K，定義f_k（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≤K}\\{K，f（x）＞K}\end{array}\right.$，取函數(shù)f（x）=$2-x-\frac{1}{e^x}$．若對任意的x∈R，恒有f_k（x）=f（x），則（　�。�

• A． K的最小值為1
• B． K的最小值為2
• C． K的最大值為1
• D． K的最大值為2

Answer 1

分析 根據(jù)新定義的函數(shù)建立f_k（x）與f（x）之間的關(guān)系，通過二者相等得出實數(shù)k滿足的條件，利用導(dǎo)數(shù)或者函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，進而求出k的范圍，進一步得出所要的結(jié)果．

解答 解：由題意可得出k≥f（x）_最大值，
由于f′（x）=-1+e^-x，令f′（x）=0，e^-x=1=e⁰解出-x=0，即x=0，
當x＞0時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當x＜0時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
故當x=0時，f（x）取到最大值f（0）=2-1=1．
故當k≥1時，恒有f_k（x）=f（x）．
因此K的最小值是1．
故選：A．

點評 本題考查學(xué)生對新定義型問題的理解和掌握程度，理解好新定義的分段函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，將所求解的問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問題，利用了導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了恒成立問題的解題思想．