Question

11．設函數(shù)f（x）=（2x²-4ax）lnx，a∈R．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若對任意x∈[1，+∞），f（x）+x²-a＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f（1），f′（1），代入切線方程即可；
（2）g（x）=f（x）+x²-a，求出函的導數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)g（x）的單調(diào)性，求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=1時，f（1）=0，
f′（x）=（4x-4）lnx+（2x-4），f′（1）=-2，
∴切線方程是：y=-2（x-1），
即2x+y-2=0；
（2）設g（x）=f（x）+x²-a=（2x²-4ax）lnx+x²-a，x∈[1，+∞），
則g′（x）=4（x-a）（lnx+1），（x≥1），
a≤1時，g（x）在[1，+∞）遞增，
∴對?x≥1，有g(shù)（x）≥g（1）=1-a＞0，
∴a＜1；
a＞1時，g（x）在[1，a）遞減，在（a，+∞）遞增，
∴g（x）_min=g（a）=a²（1-2lna）-a，
由a²（1-2lna）＞a，得：a（1-2lna）-1＞0，
設h（a）=a（1-2lna）-1，a＞1，
則h′（a）=-1-2lna＜0，（a＞1），
∴h（a）在（1，+∞）遞減，
又h（1）=0，
∴h（a）＜h（1）=0與條件矛盾，
綜上：a＜1．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．