Question

20．設(shè)不等式|x-2|＜a（a∈N^*）的解集為A，且$\frac{3}{2}$∈A，$\frac{1}{2}$∉A．
①求a的值；
②求函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-2|的最小值．

Answer 1

分析 ①利用已知條件，代入得到a的范圍即可．
②利用絕對值三角不等式直接求解函數(shù)的最小值即可．

解答 解：①因?yàn)?\frac{3}{2}∈A$，且$\frac{1}{2}∉A$，
所以$|{\frac{3}{2}-2}|＜a$，且$|{\frac{1}{2}-2}|≥a$
解得$\frac{1}{2}＜a≤\frac{3}{2}$，又因?yàn)閍∈N^*，所以a=1；
②因?yàn)閨x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
當(dāng)且僅當(dāng)（x+1）（x-2）≤0，即-1≤x≤2時(shí)取得等號，
所以f（x）的最小值為3．

點(diǎn)評 本題考查集合的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，絕對值三角不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．