Question

8．如圖，在正方形ABCD中，AB=2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$=0，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=4

Answer 1

分析 F在邊CD上，從而知道存在實數(shù)k，使得$\overrightarrow{CF}=k\overrightarrow{CD}$，從而根據(jù)$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}=0$可得到$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}）•（\overrightarrow{BC}+k\overrightarrow{CD}）=0$，進行數(shù)量積的計算即可得出k=$\frac{1}{2}$，說明F為邊CD中點，而$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}$，從而進行數(shù)量積的計算即可求得答案．

解答 解：根據(jù)已知條件，$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+k\overrightarrow{CD}$，（0≤k≤1）；
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}）•（\overrightarrow{BC}+k\overrightarrow{CD}）=0$；
∴-k•4+2=0；
∴$k=\frac{1}{2}$；
∴F為CD中點；
∴$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}$；
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}）•（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}）$=0+2+2+0=4．
故答案為：4．

點評 考查向量加法的幾何意義，共線向量基本定理，以及數(shù)量積的計算公式，相互垂直向量的數(shù)量積為0．