Question

20．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a_n=3a_n-1+3ⁿ，a₂=18．
（1）證明數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}為等差數(shù)列；
（2）求{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過a_n=3a_n-1+3ⁿ，可得$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}$+1，即得結(jié)論；
（2）通過（1）知a_n=n•3ⁿ，利用錯位相減法計算S_n-3S_n即可．

解答 （1）證明：∵a_n=3a_n-1+3ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{3{a}_{n-1}}{{3}^{n}}$+$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}}$，
即$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}$+1，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}為公差為1的等差數(shù)列；
（2）解：∵a₂=18，∴$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}$=2，
∴$\frac{{a}_{1}}{{3}^{1}}$=$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}$-1=2-1=1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=1+（n-1）=n，
∴a_n=n•3ⁿ，
∴S_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，
3S_n=1•3²+2•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
兩式相減，得-2S_n=3¹+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹，
∴S_n=$\frac{3}{4}$+$\frac{2n-1}{4}•$3ⁿ⁺¹．

點評 本題考查求數(shù)列的通項，考查等比數(shù)列的求和公式，利用錯位相減法是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．