Question

3．設f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），f（1）=0，g（x）=ax+b．
（1）求證：-2＜$\frac{c}{a}$＜-$\frac{1}{2}$；
（2）設f（x）與g（x）交點A，B在x軸上投影為A₁、B₁，求|A₁B₁|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（1）=0，得出a，b，c的關系，再由a＞b＞c進行證明；
（2）已知函數(shù)f（x）與g（x）的圖象的兩個交點A、B，由方程ax²+（b-a）x+c-b=0得出兩根，根據(jù)韋達定理，進行求解．

解答 （1）證明：∵f（1）=0
∴a+b+c=0
∵a＞b＞c
∴a＞0，c＜0，a＞-a-c＞c，
∴-2＜$\frac{c}{a}$＜-$\frac{1}{2}$；
（2）解：由已知方程ax²+（b-a）x+c-b=0，兩根為x₁，x₂，
x₁+x₂=$\frac{a-b}{a}$=2+$\frac{c}{a}$，x₁x₂=$\frac{c-b}{a}$=1+$\frac{2c}{a}$，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（2+\frac{c}{a}）^{2}-4（1+\frac{2c}{a}）}$=$\sqrt{（\frac{c}{a}-2）^{2}-4}$
∵-2＜$\frac{c}{a}$＜-$\frac{1}{2}$，
∴|x₁-x₂|∈（$\frac{3}{2}$，2$\sqrt{3}$）．

點評 此題主要考查二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)的應用，第一問比較簡單，第二問計算比較復雜，考查學生的計算能力，是一道中檔題．