Question

1．已知函數(shù)$f（x）=2ax-\frac{1}{x}-（{a+2}）lnx（{a≥0}）$．
（Ⅰ）當a=0時，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）當a＞0時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）當a=1時，若對于任意的x₁，x₂∈[1，4]，都有$|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}|＜\frac{27}{4}-2mln2$成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于x的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到$|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}|≤f（4）-f（1）=\frac{27}{4}-6ln2$，從而求出m的范圍即可．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
（Ⅰ）當a=0時，$f（x）=-\frac{1}{x}-2lnx$，$f'（x）=\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}=\frac{1-2x}{x^2}$． …（1分）
當$0＜x＜\frac{1}{2}$時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間$（{0\;\;，\;\;\frac{1}{2}}）$上單調(diào)遞增；…（2分）
當$x＞\frac{1}{2}$時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間$（{\frac{1}{2}\;\;，\;\;+∞}）$上單調(diào)遞減；…（3分）
所以，當$x=\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）取得極大值為$f（{\frac{1}{2}}）=2ln2-2$；不存在極小值． …（4分）
（Ⅱ）當a＞0時，$f'（x）=2a+\frac{1}{x^2}-\frac{2+a}{x}=\frac{{2a{x^2}-（{2+a}）x+1}}{x^2}$=$\frac{{（{2x-1}）（{ax-1}）}}{x^2}$． …（5分）
由f'（x）=0，得$x=\frac{1}{2}$或$x=\frac{1}{a}$． …（6分）
①當$\frac{1}{a}＜\frac{1}{2}$，即a＞2時，由f'（x）＞0，得$0＜x＜\frac{1}{a}$或$x＞\frac{1}{2}$；
由f'（x）＜0，得$\frac{1}{a}＜x＜\frac{1}{2}$，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間$（{0\;\;，\;\;\frac{1}{a}}）$，$（{\frac{1}{2}\;\;，\;\;+∞}）$上單調(diào)遞增，在區(qū)間$（{\frac{1}{a}\;\;，\;\;\frac{1}{2}}）$上單調(diào)遞減；…（7分）
②當$\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$，即a=2時，f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增；…（8分）
③當$\frac{1}{a}＞\frac{1}{2}$，即0＜a＜2時，由f'（x）＞0，得$0＜x＜\frac{1}{2}$或$x＞\frac{1}{a}$；由f'（x）＜0，得$\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{a}$，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間$（{0\;\;，\;\;\frac{1}{2}}）$，$（{\frac{1}{a}\;\;，\;\;+∞}）$上單調(diào)遞增，在區(qū)間$（{\frac{1}{2}\;\;，\;\;\frac{1}{a}}）$上單調(diào)遞減． …（9分）
綜上所述，當a＞2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間$（{0\;\;，\;\;\frac{1}{a}}）$，$（{\frac{1}{2}\;\;，\;\;+∞}）$上單調(diào)遞增，
在區(qū)間$（{\frac{1}{a}\;\;，\;\;\frac{1}{2}}）$上單調(diào)遞減；
當a=2時，函數(shù)函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當0＜a＜2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間$（{0\;\;，\;\;\frac{1}{2}}）$，$（{\frac{1}{a}\;\;，\;\;+∞}）$上單調(diào)遞增，
在區(qū)間$（{\frac{1}{2}\;\;，\;\;\frac{1}{a}}）$上單調(diào)遞減．…（10分）
（Ⅲ）當a=1時，由（Ⅱ）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，4]上是增函數(shù)，
所以$|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}|≤f（4）-f（1）=\frac{27}{4}-6ln2$，…（11分）
因為對于任意的x₁，x₂∈[1，4]，都有$|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}|＜\frac{27}{4}-2mln2$成立，
所以$\frac{27}{4}-6ln2＜\frac{27}{4}-2mln2$恒成立，…（12分）
解得m＜3，…（13分）
故m的取值范圍為（-∞，3）． …（14分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道綜合題．