Question

如圖，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M、N分別是AD、BE的中點，將三角形ADE沿AE折起，下列說法正確的是

 

（填上所有正確的序號）．
①不論D折至何位置（不在平面ABC內(nèi)）都有MN∥面DEC；
②不論D折至何位置都有MN⊥AE；
③不論D折至何位置（不在平面ABC內(nèi)）都有MN∥AB．

Answer 1

考點：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：對于說法①，利用線面平行的判定定理，只需證MN平行于平面DEC內(nèi)的直線DC即可；
對于說法②，由于MN∥DC，要證明MN⊥AE，只需證明AE⊥CD，可轉(zhuǎn)化為證AE⊥平面DEC，由AE⊥EC及AE⊥DE得證．
對于說法③，假設(shè)MN∥AB，利用平行公理4逐步推導(dǎo)，得出矛盾，即可判斷其正誤．

解答： 解：（1）在直角梯形ABCD中，由BC⊥DC，AE⊥DC，知四邊形ABCE為矩形．
連結(jié)AC，∵N為BE中點，∴AC過點N．
當(dāng)D折至某一位置時，如右圖所示，連結(jié)MN，∵MN為DC中位線，∴MN∥DC，
由MN?平面DEC，DC?平面DEC，得MN∥平面DEC．
所以說法①正確．
（2）∵AE⊥EC，AE⊥DE，EC∩DE=E，∴AE⊥平面DEC，又DC?平面DEC，∴AE⊥DC．
由（1）知，MN∥DC，∴MN⊥AE．
所以說法②正確．
（3）假設(shè)MN∥AB，由MN∥DC知，DC∥AB，又CE∥AB，得CE∥CD，這與CE∩CD=C相矛盾，
所以假設(shè)不成立，即說法③錯誤．
故答案為①②．

點評：本題考查了線面平行的判定定理，線面垂直的定義、判定與性質(zhì)，平行直線的傳遞性等，考查了學(xué)生的空間想象能力與邏輯推理能力，關(guān)鍵是尋找原圖與折起后的圖形之間的聯(lián)系，抓住“變”與“不變”的量．