Question

已知函數(shù)f(x)=

a

3

x3-

a+1

2

x2+x+b，其中a，b∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程為y=5x-4，求f（x）的解析式；
（2）當函數(shù)f（x）在x=2處取得極值為

1

3

時，試確定f（x）在區(qū)間[

1

2

，3]上的最值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求函數(shù)f（x）的導數(shù)，令f'（2）=5求出a的值，切點P（2，f（2））在函數(shù)f（x）和直線y=5x-4上，可求出b的值，最后得到答案．
（2）利用函數(shù)f（x）在x=2處取得極值為

1

3

，求出a，b，可得函數(shù)的解析式，進而可求f（x）在區(qū)間[

1

2

，3]上的最值．

解答： 解：（1）求導函數(shù)得f′（x）=ax²-（a+1）x+1，
∵若曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程為y=5x-4，
∴f′（2）=4a-2（a+1）+1=5，
∴2a=6，∴a=3，
∵點P（2，f（2））在切線方程y=5x-4上，
∴f（2）=5×2-4=6，∴2+b=6，∴b=4，
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=x³-2x²+x+4；
（2）求導函數(shù)得f′（x）=ax²-（a+1）x+1=（ax-1）（x-1），
∵函數(shù)f（x）在x=2處取得極值為

1

3

，
∴a=

1

2

，∴b=0，
∴f（x）=

1

6

x³-

3

4

x²+x，
函數(shù)在[

1

2

，1]上單調遞增，在[1，2]上單調遞減，在[2，3]上單調遞增
∵f（1）=

5

12

，f（2）=

1

3

，f（3）=

3

4

，f（

1

2

）=

1

3

，
∴函數(shù)的最大值為

3

4

，最小值為

1

3

．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調性與其導函數(shù)的正負之間的關系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調遞減．