Question

5．已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25及直線l，且直線l過點(diǎn)（3，1）．
（1）證明：直線l與圓C恒相交；
（2）求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)的最短長(zhǎng)度及此時(shí)的直線方程．

Answer 1

分析 （1）利用兩點(diǎn)間的距離公式求出AC之間的距離d，判斷d小于半徑5，得證；
（2）根據(jù)圓的對(duì)稱性可得過點(diǎn)A最長(zhǎng)的弦是直徑，最短的弦是過A垂直于直徑的弦，所以連接AC，過A作AC的垂線，此時(shí)的直線與圓C相交于B、D，弦BD為最短的弦，接下來求BD的長(zhǎng)，根據(jù)垂徑定理可得A是BD的中點(diǎn)，利用（1）圓心C到BD的距離其實(shí)就是|AC|的長(zhǎng)和圓的半徑|BC|的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可求出$\frac{1}{2}$|BD|的長(zhǎng)，求得|BD|的長(zhǎng)即為最短弦的長(zhǎng)；根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)求出直線AC的斜率，然后根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率乘積為-1求出直線BD的斜率，又直線BD過A（3，1），根據(jù)斜率與A點(diǎn)坐標(biāo)即可寫出直線l的方程．

解答 解：（1）直線l過點(diǎn)A（3，1）．
又因?yàn)辄c(diǎn)A（3，1）與圓心C（1，2）的距離d=$\sqrt{5}$＜5，
所以該點(diǎn)在C內(nèi)，故不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C恒相交．
（2）連接AC，當(dāng)直線l是AC的垂線時(shí)，此時(shí)的直線l與圓C相交于B、D．BD為直線l被圓所截得的最短弦長(zhǎng)．
此時(shí)，|AC|=$\sqrt{5}$，|BC|=5，所以|BD|=4$\sqrt{5}$．即最短弦長(zhǎng)為4$\sqrt{5}$．
又直線AC的斜率k_AC=-$\frac{1}{2}$，所以直線BD的斜率為2．
此時(shí)直線方程為：y-1=2（x-3），即2x-y-5=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查學(xué)生會(huì)求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，會(huì)利用點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小比較來判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，靈活運(yùn)用圓的垂徑定理解決實(shí)際問題，掌握兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系，會(huì)根據(jù)斜率與一點(diǎn)坐標(biāo)寫出直線的方程，是一道綜合題．