Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意成立.

Answer 1

【答案】（1）； （2）見(jiàn)解析.

【解析】

（Ⅰ）先求導(dǎo)數(shù)得到切線斜率，再求解切線方程；

（Ⅱ）通過(guò)求解的最小值來(lái)比較大小.

（Ⅰ）因?yàn)?/span>

所以

當(dāng)時(shí)，

所以，而

曲線在處的切線方程為

化簡(jiǎn)得到

（Ⅱ）法一：

因?yàn)?/span>，令

得

當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間的變化情況如下表:

		0		0
		極大值		極小值

所以在上的最小值為中較小的值，

而，所以只需要證明

因?yàn)?/span>，所以

設(shè)，其中，所以

令，得，

當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間的變化情況如下表:

		0
		極小值

所以在上的最小值為，而

注意到，所以，問(wèn)題得證

法二：

因?yàn)椤皩?duì)任意的，”等價(jià)于“對(duì)任意的，”

即“，”，故只需證“，”

設(shè)，所以

設(shè)，

令，得

當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間的變化情況如下表:

		0
		極小值

所以 上的最小值為，而

所以時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增

所以

而，所以，問(wèn)題得證

法三：

“對(duì)任意的，”等價(jià)于“在上的最小值大于”

因?yàn)?/span>，令

得

當(dāng)時(shí)，，，在在上的變化情況如下表:

		0		0
		極大值		極小值

所以在上的最小值為中較小的值，

而，所以只需要證明

因?yàn)?/span>，所以

注意到和，所以

設(shè)，其中

所以

當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，所以

而

所以，問(wèn)題得證

法四：

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，

設(shè)，其中

所以

所以，，的變化情況如下表:

		0