Question

14．已知函數(shù)f（x）=asinx+bcosx（a，b為常數(shù)且a≠0，x∈R）．當x=$\frac{π}{4}$時，f（x）取得最大值．
?（1）計算f（$\frac{11π}{4}$）的值；
?（2）設(shè)g（x）=f（$\frac{π}{4}$-x），判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并說明理由．??

Answer 1

分析 首先，根據(jù)已知得到f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+θ），然后根據(jù)最值建立等式，得到a=b，再化簡函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$），
（1）將$\frac{11π}{4}$代入解析式求值；
（2）求出g（x）解析式，利用奇偶函數(shù)定義判斷奇偶性．

解答 解：由已知得到f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+θ），又x=$\frac{π}{4}$時，f（x）取得最大值．
所以a=b，f（x）=$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$），
所以（1）f（$\frac{11π}{4}$）=$\sqrt{2}$asin（3π）=0；
（2）g（x）為偶函數(shù)．
理由：設(shè)g（x）=f（$\frac{π}{4}$-x）=$\sqrt{2}$asin（$\frac{π}{2}$-x）=$\sqrt{2}$acosx，
所以函數(shù)g（-x）=g（x），為偶函數(shù)．

點評 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)以及奇偶性的判定；屬于基礎(chǔ)題．