橢圓的左焦點為，直線與橢圓相交于點、，當的周長最大時，的面積是____________．

 

【答案】

【解析】

試題分析：設(shè)橢圓的右焦點為E．如圖：

由橢圓的定義得：△FAB的周長：AB+AF+BF=AB+（4a-AE）+（4a-BE）=8a+AB-AE-BE；

∵AE+BE≥AB；

∴AB-AE-BE≤0，當AB過點E時取等號；

∴AB+AF+BF=8a+AB-AE-BE≤8a；

即直線x=m過橢圓的右焦點E時△FAB的周長最大；

此時△FAB的高為：EF=2a．

此時直線x=m=c=a；

把x=a代入橢圓

的方程得：y=±．

∴AB=3a．

所以：△FAB的面積等于：S△FAB=×3a×2a=．

考點：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系．

點評：在解決涉及到圓錐曲線上的點與焦點之間的關(guān)系的問題中，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口．解決本題的關(guān)鍵在于利用定義求出周長的表達式．

 

練習(xí)冊系列答案
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設(shè)橢圓的左焦點為，直線與軸交于點，過點且傾斜角為30°的直線交橢圓于兩點．

（Ⅰ）求直線和橢圓的方程；

（Ⅱ）求證：點在以線段為直徑的圓上；

（Ⅲ）在直線上有兩個不重合的動點，以為直徑且過點的所有圓中，求面積最小的圓的半徑長．

 

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