Question

14．已知奇函數(shù)f（x），偶函數(shù)g（x）滿足f（x）+g（x）=a^x（a＞0且a≠1）．
（1）求證：f（2x）=2f（x）•g（x）；
（2）設f（x）的反函數(shù)是f^-1（x），當a=$\sqrt{2}-1$時，試比較f^-1[g（x）]與-1的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）以-x代x得f（-x）=g（-x）+a^-x再根據(jù)函數(shù)的奇偶性進行化簡，得到關于f（x）與g（x）的方程組，解之即可求出函數(shù)f（x）的解析式，從而證得f（2x）=2f（x）g（x）；
（2）根據(jù)互為反函數(shù)的單調(diào)性的關系可得出y=f^-1（x）是R上的減函數(shù)，再將-1代入，可求出f（-1）的值，結(jié)合反函數(shù)的單調(diào)性比較大小即得；

解答 證明：（1）∵f（x）+g（x）=a^x，
∴f（-x）+g（-x）=a^-x
∵f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，
∴-f（x）+g（x）=a^-x，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$（a^x-a^-x），g（x）=$\frac{1}{2}$（a^x+a^-x）．
∴f（x）g（x）=$\frac{1}{2}$（a^x-a^-x）•$\frac{1}{2}$（a^x+a^-x）=$\frac{1}{4}$（a^2x-a^-2x）=$\frac{1}{2}$f（2x），即f（2x）=2f（x）g（x）．
（2）0＜a=$\sqrt{2}-1$＜1，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$（a^x-a^-x）是R上的減函數(shù)，
∴y=f^-1（x）是R上的減函數(shù)，
又∵f（-1）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$$-\sqrt{2}$+1）=1，
∴g（x）=$\frac{1}{2}$（a^x+a^-x）≥$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{{a}^{x}•{a}^{-x}}$=1=f（-1），
∴f^-1[g（x）]≤-1．

點評 本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、函數(shù)奇偶性的應用、函數(shù)與方程的綜合運用等基礎知識，考查運算求解能力，根據(jù)函數(shù)的奇偶性與題設中所給的解析式求出兩個函數(shù)的解析式，此是函數(shù)奇偶性運用的一個技巧．屬于中檔題