Question

5．已知邊長為2的正方形SG₁G₂G₃，E，F(xiàn)分別是G₁G₂，G₂G₃的中點，SG₂交EF于點D，現(xiàn)沿著線段SE，SF，EF翻折成四面體，使G₁，G₂，G₃重合于點G，則四面體S-EFG中有：（A）SD⊥平面EFG；（B）SG⊥平面EFG；（C）GF⊥平面SGF；（D）GD⊥平面SEF．
（1）畫出四面體的草圖，并在（A）（B）（C）（D）四個結(jié)論中選擇你認(rèn)為正確的結(jié)論，加以證明；
（2）求四面體S-EFG的體積．

Answer 1

分析 （1）由題意畫出原正方形，結(jié)合原正方形畫出折疊后的四面體的草圖，并得到SG⊥平面EFG，然后由線面垂直的判定加以證明；
（2）由題意可得，三棱錐S-EFG的底面為等腰直角三角形，且由（1）可知SG為三棱錐的高，再由棱錐體積公式求得四面體S-EFG的體積．

解答 解：（1）草圖如圖，
選B，
事實上，∵SG⊥GF，SG⊥GE，且GF∩GE=G，
∴SG⊥平面EFG；
（2）∵正方形SG₁G₂G₃的邊長為2，且E，F(xiàn)分別是G₁G₂，G₂G₃的中點，
∴EG₂=FG₂=1，
底面△GEF為等腰直角三角形，且由（1）知，SG為三棱錐S-EFG的高，SG=1，
∴${V_{S-}}_{EFG}=\frac{1}{3}{S_{△EFG}}•SG$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×1×2=$\frac{1}{3}$．
∴四面體S-EFG的體積為$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查柱、錐、臺體的體積，解答此題的關(guān)鍵是注意折疊問題在折疊前后的變量與不變量，考查空間想象能力與計算能力，是中檔題．