Question

已知

a

=(2cosx，sinφ)，

b

=(sin(x+φ)，-1)(-π＜φ＜0)．定義f(x)=

a

•

b

 (x∈R)，且f(x)=f(

π

4

-x)對任意實數(shù)x恒成立．
（1）求φ的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）通過向量的數(shù)量積，以及角的變換，利用兩角和與差的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為 一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過f(x)=f(

π

4

-x)，推出對稱軸，結(jié)合φ的范圍，求出φ的值．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間直接求出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：（1）f（x）=2cosxsin（x+?）-sin?=2cosxsin（x+?）-sin[（x+?）-x]=sin（x+?）cosx+cosx（x+?）sinx=sin（2x+?）．
由f(x)=f(

π

4

-x)知函數(shù)f（x）對稱軸是x=

π

8

，即f(

π

8

)是函數(shù)最值2×

π

8

+φ=

π

2

+kπ?φ=

π

4

+kπ(k∈Z)，又-π＜φ＜0，所以φ=-

3π

4

．
（2）由（1）知f(x)=sin(2x-

3π

4

)．
由-

π

2

+2kπ≤2x-

3π

4

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)，解得

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ(k∈Z)．
所以，y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ] (k∈Z)．

點評：本題是中檔題，通過向量的數(shù)量積，考查三角函數(shù)的化簡解析式的求法，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法，求出φ是本題的關(guān)鍵，常考題型．