【題目】已知過點(diǎn)且離心率為的橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)是橢圓的左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn),過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),記橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為,上下兩個(gè)頂點(diǎn)分別為.當(dāng)線段的中點(diǎn)落在四邊形內(nèi)(包括邊界)時(shí),求直線斜率的取值范圍.
【答案】(1);(2)
【解析】
試題分析:(1)設(shè)橢圓的方程,用待定系數(shù)法求出的值;(2)解決直線和橢圓的綜合問題時(shí)需注意:第一步,根據(jù)題意設(shè)直線方程,有的題設(shè)條件已知點(diǎn),而斜率未知;有的題設(shè)條件已知斜率,點(diǎn)不定,可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程.第二步,聯(lián)立方程,把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立,消去一個(gè)元,得到一個(gè)一元二次方程.第三步,求解判別式,計(jì)算一元二次方程根.第四步,根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論.
試題解析:(1)依題意,設(shè)橢圓的方程為(),焦距為,
由題設(shè)條件知,,即,所以,由橢圓過點(diǎn),則有,解得,,故橢圓的方程為.·······7分
(2)橢圓的左準(zhǔn)線方程為,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為(-4,0),
顯然直線的斜率存在,所以直線的方程為.
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,線段的
中點(diǎn)為,
由
得 , ① ·······9分
由,
解得 , ② ·······11分
因?yàn)?/span>是方程①的兩根,所以,
于是, ·······12分
∵,所以點(diǎn)不可能在軸的右邊.
又直線方程分別為,
所以點(diǎn)在正方形內(nèi)(包括邊界)的充要條件為
,即 ·······14分
解得,此時(shí)②也成立.故直線斜率的取值范圍是. ······16分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某食品廠定期購買面粉.已知該廠每天需用面粉6t,每噸面粉的價(jià)格為1800元,面粉的保管等其他費(fèi)用為平均每噸每天3元,購面粉每次需支付運(yùn)費(fèi)900元.
(1)求該廠多少天購買一次面粉,才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少?
(2)若提供面粉的公司規(guī)定:當(dāng)一次購買面粉不少于210t時(shí),其價(jià)格可享受9折優(yōu)惠(即原價(jià)的90%),問該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,且Tn+=λ(λ為常數(shù)),令cn=b2n(n∈N*).求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Rn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的單位長度.已知直線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程是.
(1)寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線與曲線相交于,兩點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)的極坐標(biāo)為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣1,g(x)=﹣x2+4x﹣3,若有f(a)=g(b),則b的取值范圍為( )
A.
B.(2﹣ ,2+ )
C.[1,3]
D.(1,3)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正三棱柱中,,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)在上,且.
(1)求證: ∥平面;
(2)求證:平面⊥平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的左頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓于另一點(diǎn),交軸于點(diǎn), .
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn),連接(為坐標(biāo)原點(diǎn))并延長交橢圓于點(diǎn),求面積的最大值及取最大值時(shí)直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),動點(diǎn)與兩定點(diǎn), 連線的斜率之積為.
(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)設(shè)點(diǎn), 是軌跡上相異的兩點(diǎn).
(Ⅰ)過點(diǎn), 分別作拋物線的切線, , 與兩條切線相交于點(diǎn),證明: ;
(Ⅱ)若直線與直線的斜率之積為,證明: 為定值,并求出這個(gè)定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB=2,點(diǎn)E、F分別在邊AB、DC上,M為AD的中點(diǎn),且 =0,則△MEF的面積的取值范圍為( )
A.
B.[1,2]
C.
D.
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