精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】如圖，設橢圓（）的左、右焦點分別為，點在橢圓上， ， ， 的面積為.

（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；

（Ⅱ）是否存在圓心在軸上的圓，使圓在軸的上方與橢圓

有兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點？若存在，求圓的方程，若不存在，請說明理由.

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由題設知其中

由,結合條件的面積為，可求的值，再利用橢圓的定義和勾股定理即可求得的值，從而確定橢圓的標準方程；

（2）假設存在圓心在軸上的圓，使圓在軸的上方與橢圓兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點；設圓心在軸上的圓與橢圓在軸的上方有兩個交點為由圓的對稱性可知，利用在圓上及確定交點的坐標，進而得到圓的方程.

解：（1）設，其中，

由得

從而故.

從而，由得，因此.

所以，故

因此，所求橢圓的標準方程為：

（2）如圖，設圓心在軸上的圓與橢圓相交， 是兩個交點， ， ,是圓的切線，且 由圓和橢圓的對稱性，易知

，

由（1）知，所以，再由 得，由橢圓方程得，即，解得或.

當時， 重合，此時題設要求的圓不存在.

當時，過分別與,垂直的直線的交點即為圓心，設

由得而故

圓的半徑

綜上，存在滿足條件的圓，其方程為：

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，橢圓的離心率為，頂點為，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）是橢圓上除頂點外的任意點，直線交軸于點，直線交于點．設的斜率為， 的斜率為，試問是否為定值？并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓E：的右焦點為F（3，0），過點F的直線交橢圓E于A、B兩點．若AB的中點坐標為（1，﹣1），則E的方程為（　�。�
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知向量 =（ sin ，1）， =（cos ，cos2 ），f（x）= ．
（1）求函數f（x）的解析式及其單調遞增區(qū)間；
（2）將f（x）的圖象向右平移 個單位長度得到g（x）的圖象，若g（x）﹣k≤0在區(qū)間[0， ]上恒成立，求實數k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知直線l過點P（1，0，﹣1），平行于向量=(2,1,1)，平面α過直線l與點M（1，2，3），則平面α的法向量不可能是（　�。�
A.（1，﹣4，2）
B.(,-1,)
C.(-,1,-)
D.（0，﹣1，1）

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】己知函數 (其中e為自然對數的底數)， ．

(I)求函數的單調區(qū)間；

(II)設，.已知直線是曲線的切線，且函數上是增函數．

(i)求實數的值；

(ii)求實數c的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知不等式mx2+2mx﹣8≥0有解，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，面，點A在直線上的射影為，點B在直線上的射影為，連接，已知，

（Ⅰ）求四面體的體積

（Ⅱ）求二面角的余弦.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知，設函數.

（1）當時，求的極值點；

（2）討論在區(qū)間上的單調性；

（3）對任意恒成立時， 的最大值為1，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案