Question

15．已知函數(shù)f（x）=alnx-bx，在x=1處取得極值為2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，2m+1）上為增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)g（x）=xf（x），若P（x₀，y₀）為g（x）圖象上任意一點，直線l與g（x）的圖象相切于點P，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，根據(jù)極值的概念，得出a，b值，求出解析式；
（2）求出導(dǎo)函數(shù)，得出函數(shù)的增區(qū)間，利用增區(qū)間求出m的范圍；
（3）求出導(dǎo)函數(shù)，得出在P點的斜率表達(dá)式，利用構(gòu)造函數(shù)，求出斜率的極值．

解答 解（1）f′（x）=$\frac{a}{x}$-b，f′（1）=a-b=0
又由f（1）=2得-b=2 于是a=-2，b=-2
所以 f（x）=-2lnx+2x （x＞0）…（4分）
（2）令f′（x）=-$\frac{2}{x}$+2=$\frac{2（x-1）}{x}$＞0得x＞1
所以f（x）增區(qū)間為（1，+∞），
又函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，2m+1）上為增函數(shù)，
所以 m≥1 且 2m+1＞m，
∴m≥1
綜上，m的取值范圍[1，+∞）…（8分）
（3）g（x）=-2xlnx+2x²，g′（x₀）=-2lnx₀+4x₀-2，x₀∈（0，+∞）
令h（x）=g′（x₀），h′（x）=-$\frac{2}{{x}_{0}}$+4=$\frac{4{x}_{0}-2}{{x}_{0}}$
所以h（x₀）在（0，$\frac{1}{2}$）為減函數(shù)，（$\frac{1}{2}$，+∞）為增函數(shù)
故 h（x）_min=g′（$\frac{1}{2}$）=0
l斜率的取值范圍[0，+∞）…（12分）

點評 考查了極值的概念，導(dǎo)函數(shù)的概念和應(yīng)用．難點是對導(dǎo)函數(shù)的構(gòu)造，通過二次求導(dǎo)，得出導(dǎo)函數(shù)的極值．