Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=m+3s}\\{y=4s}\end{array}\right.$（s為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=ρcos2θ+4cosθ．
（Ⅰ）求直線l與曲線C的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)P，且與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|是|PA|與|PB|的等比中項(xiàng)，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用將s=$\frac{y}{4}$，代入x=m+3s，整理即可求得直線l，將極坐標(biāo)ρ=ρcos2θ+4cosθ兩邊同乘以ρ，整理求得曲線C的普通方程；
（Ⅱ）將直線l代入曲線C，求得關(guān)于t的一元二次方程，△＞0，求得m的取值范圍，由韋達(dá)定理求得t₁+t₂=$\frac{15}{8}$，t₁•t₂=-$\frac{25m}{8}$，由|AB|²=|PA|•|PB|，可知（t₁+t₂）²=5t₁•t₂，代入即可求得m的值．

解答 解：（Ⅰ）由直線l的參數(shù)方程得：x=m+3•$\frac{y}{4}$，
所以直線l的普通方程為4x-3y-4m=0；
由ρ=ρcos2θ+4cosθ得ρ²=ρ²cos2θ+4ρcosθ，即y²=2x，
所以，曲線C的普通方程為y²=2x．                         …（5分）
（Ⅱ）∵P（m，0），直線的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\frac{3}{5}t}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），將其代入y²=2x，
得：$\frac{16}{25}{t}^{2}$=2（m+$\frac{3}{5}t$），即8t²-15t-25m=0，
∵△=225+800m＞0，m＞-$\frac{9}{32}$，
由韋達(dá)定理可知：t₁+t₂=$\frac{15}{8}$，t₁•t₂=-$\frac{25m}{8}$
∵|AB|是|PA|與|PB|的等比中項(xiàng)，
∴|AB|²=|PA|•|PB|，即（t₁-t₂）²=|t₁•t₂|，
∴（t₁+t₂）²-4t₁•t₂=|t₁•t₂|，
顯然當(dāng)時(shí)m≥0不滿足題意，于是m＜0，
∴（t₁+t₂）²=5t₁•t₂，
即（$\frac{15}{8}$）²=5（-$\frac{25m}{8}$），
∴m=-$\frac{9}{40}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化，直線與拋物線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，等比中項(xiàng)的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．