Question

7．已知f（x）=（m²-m-1）x${\;}^{{m}^{2}-2m+2}$為冪函數(shù)，且對任意x∈R均有f（-x）=f（x），又g（x）=log₂[af（x）-（3a-5）x+6a]在（1，+∞）上單調遞增．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）=（m²-m-1）x${\;}^{{m}^{2}-2m+2}$為冪函數(shù)，可得m²-m-1=1，解得m的值．檢驗是否滿足條件：對任意x∈R均有f（-x）=f（x），即可得出．
（Ⅱ）g（x）=log₂[af（x）-（3a-5）x+6a]=$lo{g}_{2}[a{x}^{2}-（3a-5）x+6a]$，令t=h（x）=ax²-（3a-5）x+6a，x∈（1，+∞），利用復合函數(shù)的單調性可得：t=h（x）在x∈（1，+∞）上單調遞增且恒大于0．對a分類討論，利用一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=（m²-m-1）x${\;}^{{m}^{2}-2m+2}$為冪函數(shù)，
∴m²-m-1=1，解得m=-1或m=2．
當m=-1時，f（x）=x⁵；當m=2時，f（x）=x²．
又對任意x∈R均有f（-x）=f（x），∴f（x）=x²．
（Ⅱ）g（x）=log₂[af（x）-（3a-5）x+6a]=$lo{g}_{2}[a{x}^{2}-（3a-5）x+6a]$，
令t=h（x）=ax²-（3a-5）x+6a，x∈（1，+∞），
則y=log₂t，t=h（x）．依題知，g（x）在x∈（1，+∞）上單調遞增．
∴t=h（x）在x∈（1，+∞）上單調遞增且恒大于0．
①當a=0時，h（x）=5x，x∈（1，+∞），符合要求；
②當a≠0時，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-\frac{-（3a-5）}{2a}≤1}\\{h（1）=a-（3a-5）+6a≥0}\end{array}\right.$，解得0＜a≤5．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[0，5]．

點評 本題考查了冪函數(shù)的單調性與奇偶性、一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調性、對數(shù)函數(shù)的單調性，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．