Question

如圖，半圓O的直徑AB長為4，C是半圓O上除A，B外的一個動點，DC垂直于半圓O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，sin∠EAB=

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．
（1）證明：平面BCDE⊥平面ACD．
（2）當∠CAB=45°，求二面角D-AE-B的余弦值？

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由圓的性質(zhì)得BC⊥AC，由線面垂直得CD⊥BC，從而BC⊥平面ACD，由此能證明平面BCDE⊥平面ACD．
（Ⅱ）由sin∠EAB=

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，得EB=1，CD=EB=1，以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CD為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面DAE的法向量和平面ABE的法向量，由此利用向量法能求出二面角D-AE-B的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）證明：因為半圓O的直徑為AB，所以BC⊥AC，
因為CD⊥平面ABC，所以CD⊥BC，…（3分）
因為CD∩AC=C，所以BC⊥平面ACD，…（4分）
因為BC?平面BCDE，所以平面BCDE⊥平面ACD．…（6分）
（Ⅱ）解：因為sin∠EAB=

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，所以

EB

42+EB2

=

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，
解得EB=1，所以CD=EB=1，
因為∠CAB=45°，所以AC=BC=2

2

，
以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CD為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則D（0，0，1），E(0，2

2

，1)，A(2

2

，0，0)，B(0，2

2

，0)，…（8分）
所以

AB

=(-2

2

，2

2

，0)，

BE

=(0，0，1)，

DE

=(0，2

2

，0)，

DA

=(2

2

，0，-1)，
設(shè)平面DAE的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，
則由

n1 • DE =0 n1 • DA =0

，得

2 2 y1=0 2 2 x1-z1=0

，取x₁=1，得

n1

=(1，0，2

2

)，
設(shè)平面ABE的法向量為

n2

=(x2，y2，z2)，
則由

n2 • BE =0 n2 • AB =0

，得

z2=0 -2 2 x2+2 2 y2=0

，
取x₂=1，則

n2

=（1，1，0）…（10分）
則cos?

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

2

6

，
因為?

n1

，

n2

＞與二面角D-AE-B的平面角互補，
因此二面角D-AE-B的余弦值為-

2

6

．…（12分）

點評：本小題考查空間中直線與平面的位置關(guān)系、空間向量的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力及運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想．