Question

已知函數(shù)f(x)=

ax+b

x2+1

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且有f(

1

2

)=

2

5

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）解不等式f（x-2）+f（x-1）＜0．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)條件建立方程關系即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關系即可解不等式f（x-2）+f（x-1）＜0．

解答： 解：（ I）由

f(0)=0 f( 1 2 )= 2 5

   ∴

a=1 b=0

   ∴f(x)=

x

1+x2

…（4分）
（ II）設-1＜x₁＜x₂＜1，
由f(x1)-f(

x

2

)=

(x1-x2)(1- x   1 x   2 )

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

＜0，
∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)…（8分）
（ III）不等式等價為f（x-2）＜-f（x-1）=f（-x+1），
∴-1＜x-2＜-x+1＜1，
解得1＜x＜

3

2

…（12分）

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應用，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)的應用．