Question

10．正方形ABCD的邊長為2，E是線段CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，則$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{FC}$的取值范圍為[-1，$\frac{4}{5}$]．

Answer 1

分析 以AB為y軸、BC為x軸建立直角坐標(biāo)系，由題意求出B、C、E的坐標(biāo)，求出直線BC的方程，設(shè)F（x，$\frac{1}{2}x$）（0≤x≤2），由向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出$\overrightarrow{BF}$、$\overrightarrow{FC}$的坐標(biāo)，由向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算求出$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{FC}$的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{FC}$的最值和值域．

解答 解：如圖：以AB為y軸，BC為x軸建立直角坐標(biāo)系，
因?yàn)檎�方形ABCD的邊長為2，E是線段CD的中點(diǎn)，
所以B（0，0），C（2，0），E（2，1），
則直線BC的方程是y=$\frac{1}{2}x$，
設(shè)F（x，$\frac{1}{2}x$）（0≤x≤2），則$\overrightarrow{BF}$=（x，$\frac{1}{2}x$），$\overrightarrow{FC}$=（2-x，-$\frac{1}{2}x$），
所以$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{FC}$=x（2-x）$-\frac{1}{4}{x}^{2}$=$-\frac{5}{4}{x}^{2}+2x$（0≤x≤2），
因?yàn)楹瘮?shù)y=$-\frac{5}{4}{x}^{2}+2x$的對稱軸x=$\frac{4}{5}$，
所以當(dāng)x=$\frac{4}{5}$時(shí)，函數(shù)y=$-\frac{5}{4}{x}^{2}+2x$取到最大值是$\frac{4}{5}$，
當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y=$-\frac{5}{4}{x}^{2}+2x$取到最小值是-1，
所以$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{FC}$的取值范圍是[-1，$\frac{4}{5}$]，
故答案為：[-1，$\frac{4}{5}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．