Question

15．在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0≤a＜π），以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程ρ=6sinθ．
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）若點P（1，2），設曲線C與直線l交于點A，B，求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$最小值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標方程根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ化為直角坐標方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)化為普通方程可得直線l經(jīng)過定點P（1，2），可得|PA|+|PB|=|AB|，根據(jù)二次函數(shù)的性質求出$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的最小值即可．

解答 解：（1）由ρ=6sinθ得ρ²=6ρsinθ，
化為直角坐標方程為x²+y²=6y，
即x²+（y-3）²=9；
（2）將直線l的參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程，
得t²+2（cosα-sinα）t-7=0，
因為△=4（cosα-sinα）²+4×7＞0，
故可設t₁，t₂是方程的兩根，
所以$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=-2（{cosα-sinα}）\\{t_1}{t_2}=-7\end{array}\right.$．
又直線l過點P（1，2），結合t的幾何意義得：
|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|
=$\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{32-4sin2α}≥\sqrt{32-4}=2\sqrt{7}$，
∴$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}=\frac{{|{PA}|+|{PB}|}}{{|{PA}|•|{PB}|}}=\frac{{\sqrt{32-4sin2α}}}{{|{-7}|}}≥\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
所以原式的最小值為$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．

點評 本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式、弦長公式的應用，直線和圓的位置關系．