Question

3．如圖所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，有AC²+BC²=AB²；類(lèi)比猜想：直角四面體P-ABC（即PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA）的四個(gè)面的面積關(guān)系，證明你的猜想．

Answer 1

分析 斜邊的平方等于兩個(gè)直角邊的平方和，可類(lèi)比到空間就是斜面面積的平方等于三個(gè)直角面的面積的平方和，邊對(duì)應(yīng)著面．即可．

解答 解：由邊對(duì)應(yīng)著面，邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)著面積，由類(lèi)比可得
S²_△ABC=S²_△PAB+S²_△PBC+S²_△PCA．
證明如下：如圖作PO垂直底面△ABC于O點(diǎn)，
連接AO并延長(zhǎng)交BC于D，連接PD，
易證AD⊥BC，PD⊥BC，在Rt△PAD中，
由射影定理得PD²=OD•AD，
S²_△PBC=（$\frac{1}{2}$BC•PD）²=$\frac{1}{4}$BC²•PD²=$\frac{1}{4}$BC²•OD•AD=（$\frac{1}{2}$BC•OD）（$\frac{1}{2}$BC•AD）=S_△ABC•S_△OBC，
同理可證：S²_△PBA=S_△ABC•S_△OBA，S²_△PCA=S_△ABC•S_△OCA
所以：S²_△PBA+S²_△PCA+S²_△PBC=S_△ABC（•S_△OBC+S_△OAB+S_△OAC）=S²_△ABC

點(diǎn)評(píng) 本題考查了從平面類(lèi)比到空間，屬于基本類(lèi)比推理．利用類(lèi)比推理可以得到結(jié)論、證明類(lèi)比結(jié)論時(shí)證明過(guò)程與其類(lèi)比對(duì)象的證明過(guò)程類(lèi)似或直接轉(zhuǎn)化為類(lèi)比對(duì)象的結(jié)論．