【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=8,BC=6,AB=2,E,F(xiàn)分別在BC,AD上,EF∥AB,現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起,使得平面ABEF⊥平面EFDC.

(1)若BE=3,求幾何體BEC﹣AFD的體積;
(2)求三棱錐A﹣CDF的體積的最大值,并求此時二面角A﹣CD﹣E的正切值.

【答案】
(1)解:∵平面ABEF⊥平面EFDC,平面ABEF∩平面EFDC=EF,F(xiàn)D⊥EF,

∴FD⊥平面ABEF,又AF平面ABEF,

∴FD⊥AF,又AF⊥EF,F(xiàn)D∩EF=F,

∴AF⊥平面EFDC,

同理,CE⊥平面ABEF,

連結(jié)FC,將幾何體BEC﹣AFD分成三棱錐A﹣CDF和四棱錐C﹣ABEF,

對于三棱錐A﹣CDF,棱錐高為AF=BE=3,F(xiàn)D=5,

∴V三棱錐ACDF= = =5,

對于四棱錐C﹣ABEF,棱錐高為CE=3,

∴V四棱錐CABEF= = =6,

∴幾何體BEC﹣AFD的體積V=V三棱錐ACDF+V四棱錐CABEF=5+6=11


(2)解:設(shè)BE=x,∴AF=x(0<x≤6),F(xiàn)D=8﹣x,

∴V三棱錐ACDF= ,

∴當(dāng)x=4時,V三棱錐ACDF有最大值,且最大值為

在直角梯形CDEF中,EF=2,CE=2,DF=4,

∴CF=2 ,CD=2 ,DF=4,

∴CF2+CD2=DF2,∠DCF=90°,∴DC⊥CF,

又AF⊥平面EFDC,DC平面EFDC,

∴DC⊥AF,又AF∩CF=F,∴DC⊥平面ACF,∴DC⊥AC,

∴∠ACF為二面角A﹣CD﹣E的平面角,

tan = = ,

∴二面角A﹣CD﹣E的正切值為


【解析】(1)推導(dǎo)出FD⊥平面ABEF,從而AF⊥平面EFDC,CE⊥平面ABEF,連結(jié)FC,將幾何體BEC﹣AFD分成三棱錐A﹣CDF和四棱錐C﹣ABEF,由此能求出幾何體BEC﹣AFD的體積.(2)設(shè)BE=x,則AF=x(0<x≤6),F(xiàn)D=8﹣x,V三棱錐ACDF= ,當(dāng)x=4時,V三棱錐ACDF有最大值,∠ACF為二面角A﹣CD﹣E的平面角,由此能求出二面角A﹣CD﹣E的正切值.

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