10.如圖,在三棱錐V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB為等邊三角形,AC⊥BC且AC=BC=$\sqrt{2}$,O、M分別為AB、VA的中點(diǎn);
(1)求證:OC⊥VB;
(2)求三棱錐V-ABC的體積.

分析 (1)由已知AC=BC,O為AB的中點(diǎn),可得CO⊥AB,再由平面VAB⊥平面ABC,結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得OC⊥平面VAB,進(jìn)一步得到OC⊥VB;
(2)把三棱錐V-ABC的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐C-VAB的體積求解.

解答 證明:(1)∵AC=BC,O為AB的中點(diǎn),
∴CO⊥AB,
又∵平面VAB⊥平面ABC,且OC?平面ABC,面VAB∩面ABC=AB,
∴OC⊥平面VAB,
又∵VB⊆面VAB,
∴OC⊥VB;
解:(2)在等腰直角三角形ACB中,
∵$AC=BC=\sqrt{2}$,
∴AB=2,OC=1,
則等邊三角形VAB的面積${S_{△VAB}}=\frac{1}{2}×2×2×sin60°=\sqrt{3}$,
又∵OC⊥平面VAB,
∴三棱錐C-VAB的體積等于$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
又三棱錐V-ABC的體積與三棱錐C-VAB的體積相等,
∴三棱錐V-ABC的體積為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間中平面與平面垂直的性質(zhì),考查了空間想象能力和思維能力,訓(xùn)練了利用等積法求三棱錐的體積,是中檔題.

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