Question

13．求下列函數(shù)的最值并求出最大值和最小值時x的集合．
（1）y=sinx+$\sqrt{3}$cosx；
（2）y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡函數(shù)的表達式可得y=2sin（x+$\frac{π}{3}$），通過正弦函數(shù)的值域求解即可．
（2）利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡函數(shù)的表達式可得y=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+2，通過正弦函數(shù)的值域求解即可．

解答 解：（1）∵y=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
∴當x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z時，即x=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z時，函數(shù)有最大值，最大值為2，
當x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z時，即x=-$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z時，函數(shù)有最小值，最小值為-2．
（2）∵y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x=$\frac{1-cos2x}{2}$+sin2x+3×$\frac{1+cos2x}{2}$=sin2x+cos2x+2=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+2，
∴當x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z時，即x=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z時，函數(shù)有最大值，最大值為2+$\sqrt{2}$，
當x+$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z時，即x=-$\frac{3π}{4}$+2kπ，k∈Z時，函數(shù)有最小值，最小值為2-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查兩角和的正弦函數(shù)公式的應用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)的最值的求法，屬于基本知識的考查．