Question

2．過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若弦AB的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)（0，2），則p等于（　�。�

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 可以求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而可以寫出弦AB所在直線方程為$y=x-\frac{p}{2}$，可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程和拋物線方程聯(lián)立消去x可得到關(guān)于y的一元二次方程，由韋達(dá)定理即可求出弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為$（p，\frac{3p}{2}）$，而弦AB的垂直平分線方程可寫出為y-2=-x，弦中點(diǎn)坐標(biāo)帶入該方程便可求出p的值．

解答 解：$F（\frac{p}{2}，0）$，過焦點(diǎn)F且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線方程為：$y=x-\frac{p}{2}$，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
由$\left\{\begin{array}{l}{x=y+\frac{p}{2}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$得，y²-2py-p²=0；
∴y₁+y₂=2p，x₁+x₂=3p；
∴弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為$（\frac{3p}{2}，p）$；
弦AB的垂直平分線方程為y-2=-x，弦AB的中點(diǎn)在該直線上；
∴$p-2=-\frac{3p}{2}$；
解得$p=\frac{4}{5}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的焦點(diǎn)，以及根據(jù)直線的傾斜角求斜率，直線的點(diǎn)斜式方程，韋達(dá)定理．