Question

2．求證：函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 先求出f（x）=x+$\frac{1}{x}$的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的值在兩個(gè)區(qū)間上的符號(hào)，若符號(hào)為正，此函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)，若導(dǎo)數(shù)為負(fù)，則這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)．

解答 證明：f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，$\frac{1}{{x}^{2}}$≥1，故1-$\frac{1}{{x}^{2}}$≤0，故函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$的（0，1]上是減函數(shù)．
當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，$\frac{1}{{x}^{2}}$≤1，故1-$\frac{1}{{x}^{2}}$≥0，故函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$的（0，1]上是增函數(shù)．
由上證，f（x）=x+$\frac{1}{x}$的（0，1]上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，一般利用定義法或?qū)��?shù)法是解決本題的關(guān)鍵．