Question

2．求證：函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 先求出f（x）=x+$\frac{1}{x}$的導數(shù)，判斷導數(shù)的值在兩個區(qū)間上的符號，若符號為正，此函數(shù)在這個區(qū)間上是增函數(shù)，若導數(shù)為負，則這個函數(shù)在這個區(qū)間上為減函數(shù)．

解答 證明：f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$
當x∈（0，1]時，$\frac{1}{{x}^{2}}$≥1，故1-$\frac{1}{{x}^{2}}$≤0，故函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$的（0，1]上是減函數(shù)．
當x∈[1，+∞）時，$\frac{1}{{x}^{2}}$≤1，故1-$\frac{1}{{x}^{2}}$≥0，故函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$的（0，1]上是增函數(shù)．
由上證，f（x）=x+$\frac{1}{x}$的（0，1]上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，一般利用定義法或?qū)��?shù)法是解決本題的關鍵．