Question

已知函數(shù)f（x）=-x²-ax+b+1（a≥2，b∈R）的定義域?yàn)閇-1，1]，值域?yàn)閇-4，0]．
（1）求f（x）的解析式．
（2）是否存在正實(shí)數(shù)t，使得f（x）≤tx恒成立？若存在，求出正實(shí)數(shù)t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)解析式的求解及常用方法,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由a≥2可知，二次函數(shù)f（x）=-x²-ax+b+1的對稱軸-

a

2

≤-1，由二次函數(shù)性質(zhì)知，f（x）=-x²-ax+b+1在[-1，1]上單調(diào)遞減，從而f（-1）=0，f（1）=-4，解方程即可；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=tx-f（x）=x²+（t+2）x+1，利用二次函數(shù)性質(zhì)將f（x）≤tx恒成立轉(zhuǎn)化為

t≥0 g(-1)=-t≥0

或

t≤-4 g(1)=t+4≥0

或

-4＜t＜0 △≤0

，解方程即可．

解答： 解：（1）∵a≥2，
∴-

a

2

≤-1，
由二次函數(shù)性質(zhì)知，
f（x）=-x²-ax+b+1在[-1，1]上單調(diào)遞減，
∴

f(-1)=0 f(1)=-4

，即

a+b=0 -a+b=-4

，
解得，a=2，b=-2，
∴f（x）=-x²-2x-1，
（2）令g（x）=tx-f（x）=x²+（t+2）x+1，則
由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，g（x）≥0等價于

t≥0 g(-1)=-t≥0

或

t≤-4 g(1)=t+4≥0

或

-4＜t＜0 △≤0

，
解得-4≤t≤0，
∴t∈[-4，0]時f（x）≤tx恒成立．

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．