Question

10．已知函數(shù)f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
（1）求函數(shù)的最值及相應的x值集合；       
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸與對稱中心．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦函數(shù)的最值性質(zhì)即可求函數(shù)的最值及相應的x值集合；       
（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）根據(jù)三角函數(shù)的對稱性即可求函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸與對稱中心．

解答 解：（1）當sin（2x-$\frac{π}{4}$）=1，即2x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即x=kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，此時函數(shù)取得最大值為2；
故f（x）的最大值為2，使函數(shù)取得最大值的x的集合為{x|x=$\frac{3π}{8}$+kπ，k∈Z}；
（2）由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，得-$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{3π}{8}$+kπ，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{3π}{8}$+kπ]，k∈Z．
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，得$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{8}$+kπ，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{5π}{8}$+kπ]，k∈Z．
（3）由2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+kπ，得x=$\frac{3π}{8}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z．
即函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸為x=$\frac{3π}{8}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z．
由2x-$\frac{π}{4}$=kπ，得x=$\frac{π}{8}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z．即對稱中心為（$\frac{π}{8}$+$\frac{1}{2}$kπ，0），k∈Z．．

點評 本題考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是學生應熟悉教材基本內(nèi)容，是中檔題．