Question

10．寫出下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）焦點(diǎn)在x軸上，焦距等于4，并經(jīng)過點(diǎn)P（3，-2$\sqrt{6}$）；
（2）焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，-4），（0，4），a=5；
（3）a+c=10，a-c=4．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得c=2，代入P的坐標(biāo)，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）由題意可得c=4，a=5，求得b=3，由焦點(diǎn)在y軸上，即可得到所求橢圓方程；
（3）求得a=7，c=3，可得b，進(jìn)而得到橢圓方程，注意兩種情況．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
即有c=2，a²-b²=c²，$\frac{9}{{a}^{2}}$+$\frac{24}{^{2}}$=1，
解得a=6，b=4$\sqrt{2}$，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{32}$=1；
（2）由題意可得c=4，a=5，b²=a²-c²=9，
即有橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{25}$+$\frac{{x}^{2}}{9}$=1；
（3）a+c=10，a-c=4，
解得a=7，c=3，
即有b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{49}$+$\frac{{y}^{2}}{40}$=1或$\frac{{y}^{2}}{49}$+$\frac{{x}^{2}}{40}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，考查橢圓的性質(zhì)，注意討論橢圓的焦點(diǎn)位置，屬于基礎(chǔ)題．