Question

16．設(shè)x+y+z=1，求F=2x²+3y²+z²的最小值．

Answer 1

分析 由題意，利用已知條件，構(gòu)造出所求表達式相關(guān)的柯西不等式，由柯西不等式求出其最小值．

解答 解：由題意，
因為x+y+z=1，
所以（x+y+z）²=1，
所以1=（x+y+z）²=（$\frac{1}{\sqrt{2}}•\sqrt{2}$x+$\frac{1}{\sqrt{3}}•\sqrt{3}$y+1•z）²≤（$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+1$）（2x²+3y²+z²）
所以F=2x²+3y²+z²≥$\frac{6}{11}$，當且僅當$\frac{\sqrt{2}x}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{3}y}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{z}{1}$且x+y+z=1，即x=$\frac{3}{11}$，y=$\frac{2}{11}$，z=$\frac{6}{11}$時，取“=”，
所以F的最小值為$\frac{6}{11}$．

點評 本題利用了柯西不等式，解題關(guān)鍵在于需要學(xué)生構(gòu)造出柯西不等式的模型求解，也是本題的難點，在利用不等式時要特別注意取等條件．